1. В стопке лежат одинаковые карточки…

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записанычисла от 1 до 12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открыва- ют. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырех отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть? 2. Дан прямоугольник abcd. На луче dc отложен отрезок dk, равный bd. Точка m — середина отрезка bk. Докажите, что am — биссектриса углаbac. 3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых карточках за- писаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 8 раз больше предыдуще- го. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 8 про- изведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объеди- нить в пары (или докажите, что у него ничего не получится). 4. На плоскости нарисовали 5 красных точек. Все середины отрезков меж- ду ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может ока- заться красной и синей одновременно.) 5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88. Какова минималь- но возможная сумма модулей разностей между соседними числами? 6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причем все цены разные. Смогут ли Том иЛеопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?