ПОПАРНО — это значит так: 1 ≠ 91 ≠ 81 ≠ 71 ≠ 61 ≠ 51 ≠ 41 ≠ 31 ≠ 22 ≠ 92 ≠ 82 ≠ 72 ≠ 62 ≠ 52 ≠ 42 ≠ 33 ≠ 9… и т.д., вплоть до сравнения цифры "9". Сравнивая "1", мы сравниваем расстояние между первым игроком и вторым с расстояниями между другими игроками (которые представлены в виде других цифр). Сравнивая цифру "2" — сравниваем расстояние между вторым игроком и третьим с расстояниями между другими игроками, сравнивая цифру "3",… и т.д. так вот, ПОПАРНО — это значит, что все числа различны во ВСЕХ представленных выше ПАРАХ чисел. 1 ≠ 9 — это пара чисел, которая различна. На рисунке показано расположение игроков, удовлетворяющее условиям задачи. Исходя из манипуляции со сравнениями и глядя на рисунок, можно убедиться, что ВСЕ расстояния между всеми игроками различны. На рисунке выходит очень интересная вещь: каждая последующая комбинация из трех игроков образует треугольники. Причем образует прямоугольные треугольники.) Размышляем: Согласно условиям задачи: «каждый игрок выстрелил шариком с краской и попал в двух игроков: ближайшего к нему, а также самого удаленного». То есть получается, что 1-й выстрелил во 2-го и в 10-го. Так как расстояние от 1-го до 2-го короче, чем расстояние от 1-го до 3-го, а 10-й является самым дальним игроком по отношению к 1-ому. Далее, пользуемся правилами геометрии, в частности правилами прямоугольного треугольника: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета, следовательно гипотенуза больше любого из катетов». Что это значит? А значит то, что расстояние между 1-м игроком и 3-им и будет являться гипотенузой. А расстояние между 1-м и 2-м будет катетом. Рисунок сделан на листочке в клеточку, так что посчитать катеты и гипотенузы каждого из треугольников не составит труда, если взять за единицу измерения 1 кл.=1 см. Таким образом, просчитав всех, вплоть до 7 игрока, выясняем, что каждый попал в ближайшего и в 10-го. Почему до 7-го? Потому что 7-й игрок является серединой данной общей позиции и мы визуально еще можем определить то, что 10-й является самым дальним для 1, 2, 3, 4, 5, и 6-го игроков, но вот для 7-го дальним может оказаться уже не 10-й, а 1-й. Как понять? Можно, конечно, просто взять линейку и измерить расстояние от 7-го до 1-го, а затем от 7-го до 10-го и сравнить полученные измерения. Но раз уж мы ударились в геометрию, то сделаем следующее: Расстояние от 7-го до 1-го и от 7-го до 10-го будут являться гипотенузами, если мы достроим эти прямые до треугольников. На рисунке показано.) Вычисления: Гипотенуза (расстояние) от 7-го до 1-го=9²+12²=225=15², то есть наша гипотенуза равна 15 кл.=15 см. Гипотенуза от 7-го до 10-го=8²+16²=320=17,88854… ² ≈ 18 кл.=18 см.18 > 15, следовательно для 7-го как и для предыдущих игроков самым дальним будет являться 10-й. Далее уже понятно, что для 8, 9 и 10-го самым дальним являться будет 1-й игрок. Остается подсчитать, сколько же максимально шариков могло попасть в одного и того же игрока. Очевидно, что это 10-й, потому что в остальных кроме 1-го и 2-го попало по одному шарику. Считаем: 1-й попал во 2-го и в 10-го 2-й в 1-го и в 10-го 3-й во 2-го и в 10-го 4-й в 3-го и в 10-го 5-й в 4-го и в 10-го 6-й в 5-го и в 10-го 7-й в 6-го и в 10-го 8-й в 7-го и в 1-го 9-й в 8-го и в 1-го 10-й в 9-го и в 1-гоПолучается, что в 1-го попали 4 раза, во 2-го — 2 раза, в 10-го — 7 раз. Ну вот и ответ: 7 раз.P.S. Я тут посмотрел, что это олимпиадная задача для 6 класса!? Получается, что эту задачу можно решить гораздо проще! Тем более, что геометрия начинается только в 7… Вот уж не знаю… То ли я действительно люблю все усложнять, то ли я настолько слеп, что не вижу очевидного. Или я просто все неправильно решил. Но логика подсказывает, что все в ажуре…)
