Доказать методом математической индукции справедливость следующих…

Шаг 1 (базис индукции). Пусть n=1. Тогда левая часть доказываемого равенства 1/ (1*5)=1/5, правая часть 1/ (4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо. Пусть 1/ (1*5)+1/ (5*9)+… +1/ (4k-3) (4k+1)=k/ (4k+1) при n=k. Шаг 2 (индуктивный переход). Пусть n=k+1. Тогда 1/ (1*5)+1/ (5*9)+… +1/ (4k-3) (4k+1)+1/ (4 (k+1) -3) (4 (k+1)+1)=k/ (4k+1)+1/ (4 (k+1) -3) (4 (k+1)+1)=k/ (4k+1)+1/ (4k+4-3) (4k+4+1)=k/ (4k+1)+1/ (4k+1) (4k+5)=(k (4k+5)+1) / (4k+1) (4k+5)=(4k^2+5k+1) / (4k+1) (4k+5)=(4k^2+k+4k+1) / (4k+1) (4k+5)=(k (4k+1)+4k+1) / (4k+1) (4k+5)=(4k+1) (k+1) / (4k+1) (4k+4+1)=(k+1) / (4 (k+1)+1) Следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.