Если в геометрической прогрессии третий член отрицателен…

Пусть знаменатель прогрессии q. Первый член прогрессии 48/q², второй 48/q, четвертый 48q. Получаем уравнение 48 (1/q²+1/q+1+q)=255q³+q²+q+1) /q²=255/48=85/16 16q³+16q²+16q+16=85q²; 16q³ − 69q²+16q+16=0. По условию все члены прогрессии — целые числа, поэтому ее знаменатель q является рациональным числом. Все рациональные корни кубического уравнения следует искать среди дробей вида a/b, где a — делитель свободного члена уравнения (16) , b — делитель коэффициента при старшем члене (также 16). Таким образом, с точностью до знака q может быть только целой степенью двойки (положительной или отрицательной): ±16; ±8; ±4; ±2; ±1; ±½; ±¼; ±1/8; & plsumn; 1/16. Кроме того, поскольку 48/q² (первый член прогрессии) целое число, значения q=±16; ±8 отбрасываем Подбором убеждаемся, что q=4 является корнем; после деления на (q−4) переписываем кубическое уравнение в виде (q−4) (16q²−5q−4)=0. Как легко убедиться, квадратный трехчлен не имеет рациональных корней, поэтому единственный вариант q=4. Отсюда второй член прогрессии равен 48/4=12. А вся прогрессия имеет вид 3, 12, 48, 192.