1) y=(x^3/6) -x^2y ' (x)=(3x^2/6) -2x=(x^2/2) -2x (x^2/2) -2x=0x^2-4x=0x (x-4)=0Находим критические точкиx=0 и x=4Находим вторую производнуюy ' (x)=x-2Определяем знак второй производной в критической точкеf' 0) <0f' (4) >0Следовательно, x=0 — точка максимумаx=4 — точка минимумаНаходим точку перегибаf' (x)=0x-2=0x=2 — критическая точка второго родаТочка с абсциссой x=2 есть точка перегибаНаходим ординату перегибаy (2)=8/6-4=-8/3Таким образом точка (2; -8/3) — точка перегибаФункция возрастает от — бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечностиФункция убывает от 0 до 4 2) y=e^ (-x^2) y '=-2x*e^ (-x^2) Находим критические точки-2x*e^ (-x^2)=0x=0Находим вторую производнуюy ' (x)=-2*e^ (-x^2)+4x^2*e^ (-x^2)=e (-x^2)*(-2+4x^2) Определяем знак второй производной в критической точкеy' (0)=-2Следовательно, x=0 — точка максимумаНаходим точку перегибаf' (x)=0e (-x^2)*(-2+4x^2)=0 (-2+4x^2)=04x^2=2x^2=1/2x=±sqrt (1/2) — критические точки второго порядкаточки с абсциссами x=sqrt (1/2) и -sqrt (1/2) — точки перегиба выпуклостью внизНаходим ординаты перегибаy (-sqrt (1/2)=e^ (1/2) y (-sqrt (1/2)=e^ (-1/2) y (2)=8/6-4=-8/3 Функция y (x) >=Функция возрастает от — бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности 3) y=(2x) / (1+x^2) y ' (x)=2x/ (1+x^2) -4x^2/ (1+x^2) ^2Находим критические точки 2x/ (1+x^2) -4x^2/ (1+x^2) ^22x (1+x^2) -4x^2=0x=0x=0 — критическая точкаНаходим вторую производнуюy' (x)=-12x/ (1+x^2) ^2+16*x^3/ (1+x^2) ^3Определяем знак второй производной в критической точкеy' (0) <0Следовательно, x=0 — точка максимумаНаходим точку перегибаf' (x)=0-12x/ (1+x^2) ^2+16*x^3/ (1+x^2) ^3=0-12x-12x^3+16x^3=0x=0 — точка перегиба выпуклостью вверхx=-sqrt (3) — точка перегиба выпуклостью внизx=sqrt (3) — точка перегиба выпуклостью внизФункция спадает от — бесконечности до -sqrt (3) и jn 0 до sqrt (3) и на остальных промежутках возрастает 4) y=2^ (1/x) y' (x)=-2^ (1/x)*ln (2) /x^2 точка x=0 — точка разрывафункция убывает от — бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечноститочки перегиба можно определить как в предыдущих заданиях
