Прямоугольный треугольник с гипотенузой равной c и острым углом α…

Найдем катеты: а=с·cosα, b=c·sinα. При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R=c·cosα·sinαВысота конуса, образующей которого является катет а=с·cosα, равнаh₁=a·cosα=с·cosα·cosα=c·cos²αВысота конуса, образующей которого является катет b=c·sinα, равнаh₂=a·sinα=с·sinα·sinα=c·sin²αОбъем 1-го конуса: V₁=1/3 πR²·h₁=1/3 ·π· (c·cosα·sinα) ²·c·cos²αОбъем 2-го конуса: V₂=1/3 πR²·h₂=1/3 ·π· (c·cosα·sinα) ²·c·sin²αОбъем всего тела вращения: V=V₁+V₂=1/3 ·π· (c·cosα·sinα) ²·c·cos²α+1/3 ·π· (c·cosα·sinα) ²·c·sin²α=1/3 ·π· (c·cosα·sinα) ²·c· (cos²α+sin²α)=1/3 ·π·c³· (cosα·sinα) ²=1/12 ·π·c³· (4cos²α·sin²α)=1/12 ·π·c³·sin²2α