Решение: Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами: y'-2y'+y=0 (*) Пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его: D=1^2+4*1=5t1=(1+ корень (5) \2t2=(1-корень (5) \2Характерисическое решение имеет два корня=(1+ корень (5) \2 кратности 1 и (1-корень (5) \2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид: y=c1*e^ (1+ корень (5) \2)*x)+c2*e^ (1-корень (5) \2)*x). Правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа + бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения), поэтому частное решение уравнения y'-2y'+y=sinx (*) ищем методом неопределенных коэффициентов в видеy=c*cos x+d*sinxy’=-c*sin x+d*cos xy’’=-c*cos x-d*sin x. Подставляем функцию и ее производные в (*), получим-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+d*cos x)+c*cos x+d*sinx=sinx, или после приведения подобных членов: 2 с*sin x-2d*cos x=sin x. Приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему: 2 с=1-2d=0Откуда c=1\2,d=0. Таким образом частное решение имеет вид: y=1\2*cos x. Общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1*e^ (1+ корень (5) \2)*x)+c2*e^ (1-корень (5) \2)*x)+1\2*cos x. (производная равна y'=c1*(1+ корень (5) \2)*e^ (1+ корень (5) \2)*x)+c2*(1-корень (5) \2)*e^ (1-корень (5) \2)*x) -1\2*sin x.) Используя условия y (0)=0 , y' (0)=1, щем решение задачи Коши: 0=с 1*e^ (1+ корень (5) \2)*0)+c2*e^ (1-корень (5) \2)*0)+1\2*cos 0=с 1+ с 2+1\2,1=c1*(1+ корень (5) \2)*e^ (1+ корень (5) \2)*0)+c2*(1-корень (5) \2)*e^ (1-корень (5) \2)*0) -1\2*sin 0=c1*(1+ корень (5) \2)+c2*(1-корень (5) \2). 0=с 1+ с 2+1\2,1=c1*(1+ корень (5) \2)+c2*(1-корень (5) \2).c1=-1\2-c21=(-1\2-c2)*(1+ корень (5) \2)+c2*(1-корень (5) \2)=(-1-корень (5) \4+c2*(-1-корень (5) \2)+(1-корень (5) \2)=(-1-корень (5) \4-c2*корень (5).c2=(-5-5*корень (5) \4*корень (5) \5=(-1-корень (5) \4 с 1=-1\2-c2=(-1+ корень (5) \20. Таким образом решением задачи Коши есть функцияy=(-1+ корень (5) \4)*e^ (1-корень (5) \2)*x)+(-1-корень (5) \4)*e^ (1-корень (5) \2)*x)+1\2*cos x. Ответ: y=(-1+ корень (5) \4)*e^ (1-корень (5) \2)*x)+(-1-корень (5) \4)*e^ (1-корень (5) \2)*x)+1\2*cos x.
