(x-5) ^2+(x-4) ^3+(x-3) ^4=2 используем формулы сокращенного умножения (x-5) ^2 -> x^2-10x+25 (x-4) ^3 -> x^3-12x^2+48x-64 (x-3) ^4 -> x^4-12x^3+54x^2-108x+81 x^4-11x^3+43x^2-70x+42=2 x^4-11x^3+43x^2-70x+40=0 Для решения этого уравнения разложим левую часть на множители воспользуеся методом неопределенных коэффициентов. Имеем: x^4 − 11x^3+43x^2 − 70x+40=(x^2+px+q) (x^2+bx+c)=x^4+bx^3+cx^2+px^3+bpx^2+cpx+qx^2+bqx+cq=x^4+(b+p) x^3+(c+q+bp) x^2+(cp+bq) x+cq, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим систему уравнений: { b+p=− 11 { c+q+bp=+43{ cp+bq=− 70 { cq=+40 из последнего уравнения системы следует, чтодля c (как и для q) возможны следующие целыезначения: ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40, 1) Пусть c=1, тогда q=40 В этом случае второе и третье уравнения дают систему: { 1+40+bp=+43 { 1·p+b·40=− 70bp=2 , p=2 /b это значение p подставим во второе уравнение и получим следующее квадратное уравнение: 40b^2+70b+2=0 найдем его дискриминант: D=4580 а затем корень из D=67,675697262755 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 2) Пусть c=2, тогда q=20 В этом случае второе и третье уравнения дают систему: { 2+20+bp=+43{ 2·p+b·20=− 70bp=21 , p=21/b это значение p подставим во второе уравнение и получим следующее квадратное уравнение: 20b^2+70b+42=0 найдем его дискриминант: D=1540 а затем корень из D=39,242833740697 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 3) Пусть c=4, тогда q=10 В этом случае второе и третье уравнения дают систему: { 4+10+bp=+43 { 4·p+b·10=− 70bp=29 , p=29/b это значение p подставим во второе уравнение и получим следующее квадратное уравнение: 10b^2+70b+116=0 найдем его дискриминант: D=260 а затем корень из D=16,124515496597 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 4) Пусть c=5, тогда q=8 В этом случае второе и третье уравнения дают систему: { 5+8+bp=+43 { 5·p+b·8=− 70bp=30 , p=30/b это значение p подставим во второе уравнение и получим следующее квадратное уравнение: 8b^2+70b+150=0 найдем его дискриминант: D=100 а затем корень из D=10 b1=-3,75 b2=-5 p1=-8 p2=-6 И так имеем: c=5 , q=8 , b=-5 , p=-6 x^4 − 11x^3+43x^2 − 70x+40=(x^2 − 6x+8) (x^2 − 5x+5)=0 Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений x^2 − 6x+8)=0 и (x^2 − 5x+5)=0 решив которые можно найти корни исходного уравнения x1=2 <- ответx2=4 <- ответ x3=(5+\sqrt{5}) /2 <- ответx4=(5-\sqrt{5}) /2 <- ответ
