x — длина заготовки в смn — осталось целых м от 1-й доски (а было всего 5 => n < 5 (*) n — осталось целых см от 2-й доскиm — осталось целых см от 1-й доскиm — осталось целых м от 2-й доски Тогда из условия задачи получим, что 500 — 5x=100n+m (A) 2500 — 31x=n+100m (B) Из (А) и (B) нам нужно найти целые значения x при целых n и m. Из (А) следует, что m должно делиться на 5 (C) Из (B) следует, что n+31 х должно делиться на 100 (D) Умножим (A) на 5 и вычтем из этого выражения (B). Получим 6x=499n — 95m (*)=83*6n+n — 16*6m+m => n+m должно делиться на 6 (E), а также 499n — 95m > 0 => m < 499n/95 (F) x=(499n — 95m) /6 (*) Из условия (*) следует, что мы можем последовательно решать (А) и (B) для n=0,1,2,3 и 4. 1) n=0: Из (*) следует 6x=-95m < 0 — противоречие => нет решения при n=0 2) n=1: Из (F) следует m < 5,3 => m=0,1,2,3,4,5. Из (E) получим m=5. Из (*) получим x=4. Но (D) не выполняется (1+31*4=125 не делится на 100) => нет решения при n=1 3) n=2: Из (F) следует m < 10,5 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Из (E) получим m=4 или 10. Из (*) получим x=103 или 8. Но (D) не выполняется (2+31*103=3195 не делится на 100 и 2+31*8=250 не делится на 100) => нет решения при n=2 4) n=3: Из (F) следует m < 15,7 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. Из (E) получим m=3 или 9 или 15. Из (*) получим x=202 или 107 или 12. Но (D) не выполняется для этих x => нет решения при n=3 5) n=4: Из (F) следует m < 21,01 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Из (E) получим m=2 или 8 или 14 или 20. Из (*) получим x=301 или 206 или 111 или 16. Но (D) выполняется только для x=16 (4+31*16=500 делится на 100) => решение при n=4: x=16 Проверим исходные уравнения (A) и (B) при x=16, n=4 и m=20:500 — 5*16=100*4+20 (A) 2500 — 31*16=4+100*20 (B) Убеждаемся, что (A) и (B) выполняются. Следовательно, х=16 и есть единственно возможное решение. Ответ: длина каждой заготовки составляет 16 см.
