В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой…

Чтобы число было кратно одновременно 7, 11, 13, нужно, чтобы это число было кратно 7*11*13=1001. Поскольку при умножении числа 1001 на abc будет получаться число вида abcabc, утверждение, что abcabc кратно 1001 справедливо. А следовательно, число вида abcabc кратно 7, 11, 13, что и требовалось доказать.