В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O — центр окружности…

Треугольники AMN и ABC подобные с коэффициентом |cos A|. Возможны два случая: 1) AM=AB cos A, AN=AC cos A, если угол A острый, то есть точки M, N лежат внутри сторон AC, AB; 2) AM=AB cos (180° − A)=−AB cos A, AN=AC cos (180° − A)=−AC cos A (косинус отрицательный), если угол A тупой, то есть точки M, N лежат на продолжениях сторон AC, AB; в первом случае угол A у треугольников общий, во втором — углы при вершине A вертикальные. Следовательно, |cos A|=MN/BC=½, ∠A=60° или 120°. Лучи BO и CO являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC, поэтому ∠BOC=180° − (∠OBC+∠OCB)=180° − ½ (180° − ∠ABC+180° − ∠ACB)=½ (∠ABC+∠ACB)=½ (180° − ∠A)=90° − ½∠A. R (BOC)=BC/ (2 sin BOC)=BC/ (2 sin (90° − ½A)=BC/ (2 cos ½A). Если ∠A=60°, то R (BOC)=12/ (2 cos 30°)=4√3. Если ∠A=120°, то R (BOC)=12/ (2 cos 60°)=12.