Математическое предложение, которое не доказывается, называется аксиомой. Теория натуральных чисел основана на системе аксиом, сформулированной итальянским ученым Джузеппе Пеано (1858-1932). Аксиома I. Существует натуральное число единица, не следующая ни за каким числом. Аксиома II. За любым натуральным числом следует одно и только одно число. Аксиома III. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом. Аксиома IV. Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы, то из допущения, что она верна для натурального числа n, следует, что она верна для всех натуральных чисел. Основные аксиомы планиметрии: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Из трех точек только одна лежит между другими. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Градусная мера угла равна сумме градусных мер частей, на которые разделенугол. На полупрямой от ее начала можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, заданной величины, притом только один. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, притом только одну. Основные аксиомы стереометрии: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, притом только одну. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
