|x+a|+x² < 21) x+a ≥ 0 х ≥ — аx+a+x² < 2 х²+ х +(а — 2) < 0Рассмотрим функцию: у=х²+ х +(а — 2), ее график — квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство x+a+x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х²+ х +(а — 2)=0D=1 — 4· (а — 2)=1 — 4a+8=9 — 4aУравнение имеет решение, если D ≥ 09 — 4a ≥ 04a ≤ 9a ≤ 2,25При а=2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a < 2,25Уравнение будет иметь положительное решение при -1+√ (9 — 4a) > 0√ (9 — 4a) > 1 (9 — 4a) > 14 а < 8 а < 2 при этом х ≥ — а, т. Е должно быть х ≥ -2Действительно, если а=0, тогда уравнение х²+ х — 2=0 имеет дискриминатD=1+8=9 и корни х₁=(-1+3): 2=1 и х₂=(-1-3): 2=-2Получается, что между -2 и 1 неравенство х²+ х — 2 < 0 будет справедливым. И положительные корни есть. 2) x+a ≤ 0 х ≤ — а-x — a+x² < 2 х² — х — (а +2) < 0Рассмотрим функцию: у=х² — х — (а +2), ее график — квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство -x — a+x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² — х — (а +2)=0D=1+4· (а +2)=1+4a+8=9+4aУравнение имеет решение, если D ≥ 09+4a ≥ 04a ≥ -9a ≥ -2,25При а=-2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a > -2,25Уравнение будет иметь положительное решение при 1+√ (9+4a) > 0√ (9+4a) > -1 естественно, что √ (9+4a) > 0 (9+4a) > 04 а > -9 а > -2,25 при этом х ≤ — а, т. Е должно быть х ≤ 2,25Действительно, если а=0, тогда уравнение х² — х — 2=0 имеет дискриминатD=1+8=9 и корни х₁=(1+3): 2=2 и х₂=(1-3): 2=-1Получается, что между -1 и 2 неравенство х² — х — 2 < 0 будет справедливым. Видно, что положительные корни есть. Ответ: 1) при x+a ≥ 0 неравенство |x+a|+x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а < 2 2) при x+a ≤ 0 неравенство |x+a|+x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а > -2,25
